Teori Gauss Caucy
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Kita semua mengenal Gauss dan Cauchy adalah tokoh matematika modern yang telah memberikan banyak pemikiran,dan ide matematikanya. Berbagai ide matematika yang yang ditemukan Gauss diantaranya menemukan cara membuat poligon 17 sisi dengan menggunakan kompas dan penggaris , Sumbangsih Gauss dalam teori probabilitas adalah kurva Gaussian yang sering disebut dengan hukum Gauss tentang distribusi normal atau yang sekarang lebih dikenal dengan kurva berbentuk lonceng. catatan harian matematika yang diisi dengan ide-ide atau problem-problem yang melintas di kepala setiap hari. Dalam buku itu pula tertulis bahwa kemungkinan adanya geometri non-Euclidian; membuat perubahan besar dalam aritmatika; merombak teori bilangan; proses menemukan grafik dari bilangan kompleks dan membuktikan theorema dasar aljabar. Selain itu beberapa temuan Cauchy diantaranya determinan,kalkulus, makalah perdananya tentang polyhedra yang mempunyai sisi lebih dari sekedar 2, 4, 6, 12 atau 20 sisi. Disusul dengan makalah kedua, dengan mengembangkan rumus dari Euler tentang geometri bidang, dengan menghubungkan jumlah sudut (S), permukaan (M), (garis) verteks (V) dari polyhedron, S + 2 = M + V. Banyak sekali hal-hal yang menarik dalam temuan Gauss dan Cauchy tersebut. Mulai dari ide kenapa timbul masalah tersebut, siapa saja matematikawan yang terlibat , perkembangan dari masa ke masa dan penggunaannya dalam kehidupan. Makalah ini dibuat untuk menyelesaikan tugas dalam mata kuliah Sejarah Matematika.
B. Rumusan Masalah
a. Bagaimana sejarah hidup Gauss dan Cauchy?
b. Apa saja temuan dari Gauss dan Cauchy?
C. Tujuan
a. Mengetahui sejarah hidup Gauss dan caucy
b. Mengetahui temuan dari Gauss dan Cauchy.
c. Mengetahui perkembangan dari masa ke masa
d. Dapat menggunakan / dapat mengaplikasikan dalam kehidupan.
BAB II
PEMBAHASAN
Carl Friedrich Gauss (1777– 1855)
Kakek Gauss adalah petani miskin yang menetap di Brunswick sejak tahun 1740 yang bertahan hidup dengan menjadi tukang kebun. Anak kedua dari kakek ini, Gerhard Diederich, lahir tahun 1744 adalah ayahanda Gauss. Sehari-hari Gerhard bekerja lepas sebagai tukang kebun, menggali salokan dan terkadang menjadi tukang batu. Dorothea Benz, ibunda Gauss, adalah anak tukang perancah batu. Dorothea mempunyai adik laki, Friedrich yang pertama kali mengenali bakat si genius kecil ini yang muncul sejak umur 3 tahun. Umur 7 tahun, Carl dikirim ke sekolah lokal.
Suatu hari, untuk menjaga agar murid tetap sibuk, diberikan perintah agar semua anak menjumlah angka sebanyak 100 mulai dari 81297 + 91495 + 1693 + … + 100899. Semua angka mempunyai selisih 198. Setiap murid selesai, ditaruhkan batu tulis di atas meja guru; Guru itu, Buttner, menjelaskan hasilnya, Gauss meletakkan batu tulis di atas meja sambil berkata, “Itu salah.” Setelah sekolah usai, Buttner akhirnya menyebutkan bahwa jawaban Gauss yang benar. Guru itu mengatakan bahwa ia tidak sanggup lagi mengajari dan mengalihkan tanggung jawab ke asisten muda, Johann Martin Bartels [1969 – 1836]. Umur 12 tahun, Gauss sudah berani mempertanyakan dasar-dasar geometri Euclidian. Umur 15 tahun, Gauss sudah belajar di College, semua biaya ditanggung oleh Ferdinand, dengan mengambil jurusan bahasa kuno dan bahasa modern serta matematika. Umur 16 tahun mulai menggagas geometri selain Euclid. Setahun berikutnya mencari lubang-lubang pembuktian teori bilangan yang memuaskan pada pendahulunya, namun dianggap hanya karya setengah jalan, sebelum memasuki bidang favorit, aritmatika. Tiga tahun kemudian, Gauss masuk universitas Gottingen, dan belum dapat memutuskan jurusan matematika atau jurusan bahasa yang akan dipilih. Keputusan memilih bidang matematika terjadi pada tanggal 30 Meret 1796.
TEMUAN DAN IDE MATEMATIKA GAUSS
Gauss menemukan cara membuat poligon 17 sisi dengan menggunakan kompas dan penggaris. Cara menggunakan kompas dan penggaris dimulai sejak jaman Archimedes ini, namun cara menggambar poligon ini baru ditemukan oleh Gauss. Penemuan ini dianggap sebagai salah satu penemuan terbesar dari Gauss. Keputusan besar dan benar ini kemudian diikuti dengan janjinya untuk membuat catatan harian matematika yang diisi dengan ide-ide atau problem-problem yang melintas di kepala setiap hari. Dalam buku itu pula tertulis bahwa kemungkinan adanya geometri non-Euclidian; membuat perubahan besar dalam aritmatika; merombak teori bilangan; proses menemukan grafik dari bilangan kompleks dan membuktikan theorema dasar aljabar. Gauss remaja, seperti halnya Newton, adalah masa penuh ide dan sangat kreatif.
Buku Gauss yang berjudul Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus revolvi posse terbit , tahun 1799. Isi tesis doktoral adalah membuktikan theorema dasar aljabar – membuktikan bahwa polinomial pangkat n (kuadrat adalah pangkat 2 dan kubik adalah pangkat 3, quartik adalah pangkat 4 dan seterusnya) mempunyai (hasil) akar pangkat n juga. Hal tersebut baru valid (sahih) apabila perlakuan terhadap bilangan imajiner sama seperti bilangan riil.
Untuk bilangan riil: x4 + 2x³ + 9 = 0 akan mempunyai 4 hasil (bilangan) akar x³ + x² + 2x + 4 = 0 akan mempunyai 3 hasil (bilangan) akar. Untuk bilangan imajiner: x² + 4 = 0 tidak dapat diselesaikan apabila bilangan riil yang dipakai. Hasil yang diperoleh adalah x = ± √-4, atau x = ± 2√-1. Seperti dinyatakan oleh Euler bahwa ekspresi √- 1 dan √-2 tidak dimungkinkan atau merupakan bilangan-bilangan imajiner, karena akar bilangan adalah negatif; sesuatu tidak ada apa-apa (nothing) karena bukan bilangan dan bukan pula bilangan yang lebih besar dari sesuatu tidak ada (nothing). Gauss menyatakan bahwa bilangan negatif juga termasuk dalam sistim bilangan.
Gauss membagi bilangan dimulai dari bilangan kompleks. Dari bilangan kompleks itu kemudian diturunkan bilangan-bilangan lain. Keberadaan bilangan kompleks tidak hanya mempengaruhi aljabar, tapi juga berdampak pada analisis dan geometri. Teori fungsi dari bilangan kompleks kemudian dikembangkan; geometri diferensial [angka] mutlak dan analisis vektor sangat vital bagi sains modern berkembang sehingga dikenal bilangan-bilangan setengah riil dan setengah imajiner. Deret tidak terhingga yang terus membesar seperti 1 + 2 + 4 + 8 + …menggoda hati Gauss, yaitu bagaimana menghitung eskpresi matematika (fungsi) untuk menggambarkannya. Pada analis sebelumnya tidak dapat menjelaskan misteri ini, proses menuju ketakterhinggaan. Tidak puas dengan apa yang tertulis pada buku teks, Gauss menyiapkan pembuktian. Awal yang membuat Gauss berkutat dengan analisis. Metode Gauss ini mengubah seluruh aspek matematika.
Sumbangsih Gauss dalam teori probabilitas adalah kurva Gaussian yang sering disebut dengan hukum Gauss tentang distribusi normal atau yang sekarang lebih dikenal dengan kurva berbentuk lonceng. Laplace menyebut Gauss sebagai matematikawan terbesar di dunia. Sedangkan kalangan raja memberi gelar “Pangeran matematika.”
Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857)
Augustin Louis Cauchy lahir kurang dari 6 minggu setelah terjadi revolusi Perancis, adalah anak sulung dari 6 anak (dua laki dan 4 perempuan). Masa kecil Cauchy adalah periode berdarah. Sekolah-sekolah ditutup. Terjadi kevakuman dalam ilmu pengetahuan atau kebudayaan, komunitas mulai meninggalkan kebudayaan dan ilmu pengetahuan agar tidak ditangkap, masuk penjara atau diguilotin. Guna menghindari hal-hal buruk itu, ketika umur Cauchy empat tahun, mereka sekeluarga pindah ke desa kecil, Arcueil. Pada perbatasan desa Arcueil terdapat rumah Laplace dan Claude-Louis Berthollet [1748 – 1822], dimana nama kedua diguilotin karena tahu bagaimana membuat mesiu. Keduanya adalah sahabat karib. Beberapa tahun kemudian, Laplace mengikuti kuliah dari Cauchy tentang deret tak-terhingga (infinite series) disertai dengan ketakutan bahwa penemuan anak ini tentang konvergensi dapat menghancurkan seluruh mekanika alam semesta (celestial) yang menjadi andalannya. Kompetensinya terancam karena semua perhitungannya didasarkan pada divergen. Beruntunglah Laplace karena intuisi astronomikalnya jauh dari bencana, setelah dia menguji ulang perhitungannya tentang deret dengan metode konvergensi dari Cauchy yang kemudian disebut dengan metode Cauchy.
Tahun 1805, pada usia enam-belas tahun ia diterima pada Polytechnique. Kembali dari Cherbourg, pada awal Desember 1810, Cauchy menekuni matematika. Diawali dengan belajar aritmatika dan berakhir dengan astronomi, menyederhanakan pembuktian dan menemukan proposisi-proposisi baru dengan menggunakan metode-metodenya menjadi pekerjaan sehari-hari. Cauchy kembali ke Paris dan melakukan penelitian. Topik yang menjadi pokok penelitian adalah polyhedra dan fungsi-fungsi asimetris.
Awal tahun 1811, Cauchy mengeluarkan makalah perdananya tentang polyhedra yang mempunyai sisi lebih dari sekedar 2, 4, 6, 12 atau 20 sisi. Disusul dengan makalah kedua, dengan mengembangkan rumus dari Euler tentang geometri bidang, dengan menghubungkan jumlah sudut (S), permukaan (M), (garis) verteks (V) dari polyhedron, S + 2 = M + V. Makalah ini kemudian dicetak, dan Legendre menyuruh Cauchy melanjutkan meskipun Malus (1775 –1812) menyebutkan bahwa ada yang salah dengan rumus itu, namun Malus tidak dapat menunjukkan bagian mana yang salah.
Di tengah kesibukan, Cauchy menyunting Aloise de Bure, keturunan keluarga yang kembali sama seperti Cauchy, membenci (agama) Katholik. Mereka menikah pada tahun 1818 dan mempunyai 2 anak perempuan. Ingin ke luar dari bayang-bayang ketenaran Gauss, Cauchy melakukan kiprah di luar bidang yang menjadi kompetensi Gauss. Untuk itu Cauchy mengembangkan apa yang disebut dengan determinan. Diawali dengan membuat susunan simetri dari n faktor atau bilangan, a1, a2, a3, …, an, sebelum merumuskan difinisi determinan sebagai ekspresi yang diperoleh dari setiap perubahan. Tahun 1815, Cauchy menggunakan determinan untuk menghitung perambatan gelombang, menyelesaikan problem geometri dan fisika.
Teori substitusi, dirombak menjadi lebih sistematis oleh Cauchy, yang dikemukakannya lewat makalah-makalahnya terhitung mulai pertengahan tahun 1840. Dikembangkan dan diberi nama teori kelompok-kelompok terbatas (theory of finite groups). Operasi diberi notasi dengan huruf besar, A, B, C, D… dan dua operasi, sebagai contoh, A pertama dan B kedua, memungkinkan terjadi kesetaraan AB. AB dan BA tidak harus mempunyai operasi yang sama. Misal A adalah “Bagilah dengan 10, bilangan yang diketahui,” dan B adalah tambahkan 10 terhadap bilangan yang diketahui”, AB = x/10 + 10 sedangkan BA (x+10)/10. Apabila operasi X dan Y sama disebut sebagai sama dengan (atau equivalen) yang lazim ditulis dengan notasi X = Y. Notasi ini biasa disebut dengan asosiatif. Dikenal dua jenis asosiatif: untuk penjumlahan dan untuk perkalian. Dari tiga operasi U, V, W dalam bentuk (UV)W = U(VW) disebut menurunkan hukum asosiatif. Pada notasi pertama, UV diproses pertama, dan hasilnya dikalikan dengan W; tapi pada notasi kedua, U diproses pertama dan hasil itu dikalikan dengan VW. Tidak mau kalah, seperti halnya Euclid, Cauchy juga mengemukakan empat postulat: (i) Terdapat aturan kombinasi yang dapat dipakai pada setiap (pasangan) X, Y yang hasilnya diberi notasi XY. Kombinasi X dan Y dalam susunan ini, sesuai dengan hukum kombinasi, secara unik ditentukan operasi secara kelompok. (ii) Untuk setiap tiga operasi X, Y, Z dalam kelompok, hukum (i) disebut asosiatif, disebut (XY)Z = X(YZ). (iii) Terdapat identitas unik I dalam kelompok, untuk itu setiap operasi X dalam kelompok IX = XI = X. (iv) Jika X ada pada setiap operasi dalam kelompok, ada kelompok operasi unik, disebut X', seperti X X' = I (mudah dibuktikan bahwa XX' = I juga).
Empat postulat di atas mendasari pengambangan lebih lanjut dengan mambahas permutasi atau substitusi kelompok-kelompok. Ilustrasi, menggunakan tiga huruf a, b dan c dapat diperoleh 6 pasangan huruf: ab, ac, bc, ba, ca, cb. Di atas adalah permutasi yang dibedakan dengan kombinasi yang diperoleh: ab, ac, bc.
A.
BAB III
KESIMPULAN
Carl Friedrich Gauss dan Augustin Louis Cauchy adalah ilmuan yang berperan penting dalam sejarah perkembangan matematika: Deret Fibonacci sudah digunakan oleh matematikawan Indian yaitu Gopala dan Hemachandrasemenjak tahun 1150.Kemudian Deret fibonacci dikemukakan oleh Leonardo of Pisa, atau yang lebih dikenal dengan fibonaci pada abad 12. Denganmengadakan sebuah penelitian tentang perkembang biakan ideal kelinci yang pada akhirnya menemukan sebuah deret yang dikenal dengan nama deret fibonaci. Berdasarkan penelitian tersebut Fibonaci mengambil kesimpulan, pada n bulan total pasangan kelinci yang ada sebanding dengan total kelinci baru (n-1) ditambah dengan total kelinci yang hidup sebelumnya. Deret Fibonaci kemudian dipelajari lebih dalam oleh seorang matematikawan Prancis bernama Edouard Lucas. Lucas juga lah yang kemudian mulai mempopulerkan nama deret Fibonaci ini, dan mendefinisikan kembali deret tersebut, dan menamakannya sebagai barisan Fibonacci di mana setiap sukunya diberikan symbol 
Barisan Fibonacci dapat didefinisikan kembali sebagai berikut :
= 1
= 2
= 
+ 
untuk n ≥ 3
Note : kita juga dapat mendefenisikan 
= 0
= 0
Banyak yang menggunakan Fibonacci dlam kehidupan sehari-hari yaitu dlam bidang keuangan, Architecture, seni dan teknologi. Banyak misteri dalam deret tersebut yaitu Jika kita mengukur jarak Kota Makkah ke arah Kutub Utara, diperoleh angka 7631.68 km, sedangkan jika ke arah Kutub Selatan, diperoleh angka 12348.32 km. Apabila kedua angka tersebut kita diperbandingkan :12348.32 km / 7631.68 km = 1.618. Angka 1.618di dalammatematika, dikenalsebagaiBilangan Fibonacci, Kemudianjumlah daun pada sebuah bunga. Dan bila diamati, ternyata jumlah daun pada bunga itu menganut deret Fibonacci, danHubungan kesesuaian “ideal” yang dikemukakan ada pada berbagai bagian tubuh manusia rata-rata dan yang mendekati nilai rasio emas.
DAFTAR PUSTAKA
Comments
Post a Comment